微积分学示例

$y = x^{\frac{5}{2}} + 2 \ln (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{\frac{5}{2}} + 2 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

解题步骤 2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

解题步骤 2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

解题步骤 2.5.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x}$

解题步骤 4

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2}{x}$

微积分学 示例