微积分学示例

$y = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \arcsin (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \arcsin (\frac{x}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 重写成 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 - x^{2}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.4.3

使用 $4 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.9

将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.13

化简分子。

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解题步骤 2.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.15

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.16

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.17

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.18

组合 $- 2$ 和 $\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.19

组合 $\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.21

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.22

约去公因数。

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解题步骤 2.22.1

从 $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.22.2

约去公因数。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.22.3

重写表达式。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.23

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.24

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.25

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.26

组合 $x$ 和 $\frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.27

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.28

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.29

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.30

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.31

要将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.32

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.33

通过指数相加将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.33.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.33.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.33.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.33.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.34

化简 ${(4 - x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{\frac{4 - x^{2} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.35

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{4 + 0}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.36

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.37

将 ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.37.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.37.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.37.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.37.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.38

化简。

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.39

将 $\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.40

将 $\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{4 - x^{2}}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.41

通过指数相加将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $4 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.41.1

将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $4 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.41.1.1

对 $4 - x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.41.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.41.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.41.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.41.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \arcsin (\frac{x}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.2.2

$\arcsin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.6

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.7

将 $2$ 移到 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 的左侧。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

解题步骤 4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

化简分母。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{x^{2}}{4}}}$

解题步骤 4.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{4 - x^{2}}{4}}}$

解题步骤 4.3.1.3

以因式分解的形式重写 $\frac{4 - x^{2}}{4}$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{2^{2} - x^{2}}{4}}}$

解题步骤 4.3.1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}}$

解题步骤 4.3.1.4

将 $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.1

从 $(2 + x) (2 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}}$

解题步骤 4.3.1.4.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}}$

解题步骤 4.3.1.4.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}}$

解题步骤 4.3.1.5

从根式下提出各项。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})}$

解题步骤 4.3.1.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

解题步骤 4.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

解题步骤 4.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

解题步骤 4.3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{1}}$

解题步骤 4.3.3.2

用 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{1}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}})$

解题步骤 4.3.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

解题步骤 4.3.5.2

对 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

解题步骤 4.3.5.3

对 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

解题步骤 4.3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

解题步骤 4.3.5.6

将 ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ 重写为 $(2 + x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 4.3.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 重写成 ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.6.4.1

约去公因数。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.5.6.4.2

重写表达式。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

解题步骤 4.3.5.6.5

化简。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.4

要将 $\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.5

要将 $- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 + x) (2 - x) {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((2 + x) (2 - x))} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.6.2

将 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ 乘以 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((2 + x) (2 - x))} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(2 + x) (2 - x) {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.6.3

重新排序 ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((2 + x) (2 - x))$ 的因式。

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(2 + x) (2 - x) {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.6.4

重新排序 $(2 + x) (2 - x) {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 的因式。

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x)) - \sqrt{(2 + x) (2 - x)} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8

化简分子。

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解题步骤 4.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 重写成 ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 (2 + x) (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.2

运用分配律。

$\frac{(4 \cdot 2 + 4 x) (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(8 + 4 x) (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.4

使用 FOIL 方法展开 $(8 + 4 x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 4.8.4.1

运用分配律。

$\frac{8 (2 - x) + 4 x (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.4.2

运用分配律。

$\frac{8 \cdot 2 + 8 (- x) + 4 x (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.4.3

运用分配律。

$\frac{8 \cdot 2 + 8 (- x) + 4 x \cdot 2 + 4 x (- x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.8.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.5.1.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16 + 8 (- x) + 4 x \cdot 2 + 4 x (- x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16 - 8 x + 4 x \cdot 2 + 4 x (- x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5.1.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 - 8 x + 8 x + 4 x (- x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{16 - 8 x + 8 x + 4 \cdot - 1 x \cdot x - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.8.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{16 - 8 x + 8 x + 4 \cdot - 1 (x \cdot x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{16 - 8 x + 8 x + 4 \cdot - 1 x^{2} - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5.1.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16 - 8 x + 8 x - 4 x^{2} - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5.2

将 $- 8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{16 + 0 - 4 x^{2} - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.5.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.6

使用 FOIL 方法展开 $(2 + x) (2 - x)$ 。

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解题步骤 4.8.6.1

运用分配律。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(2 (2 - x) + x (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.6.2

运用分配律。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.6.3

运用分配律。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.8.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.7.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.7.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.8.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.7.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.7.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.8

通过指数相加将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.8.8.1

移动 ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - ({(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.8.3

在公分母上合并分子。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{\frac{3 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.8.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{\frac{4}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.8.5

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.9

将 ${(4 - x^{2})}^{2}$ 重写为 $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - ((4 - x^{2}) (4 - x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.10

使用 FOIL 方法展开 $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ 。

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解题步骤 4.8.10.1

运用分配律。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.10.2

运用分配律。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.10.3

运用分配律。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.8.11.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.11.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.8.11.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.1.7

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.11.2

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 8 x^{2} + x^{4})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.12

运用分配律。

$\frac{16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 16 - (- 8 x^{2}) - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.13

化简。

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解题步骤 4.8.13.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - 16 - (- 8 x^{2}) - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.13.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16 - 4 x^{2} - 16 + 8 x^{2} - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.14

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 0 + 8 x^{2} - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.15

将 $- 4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 4 x^{2} + 8 x^{2} - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.16

将 $- 4 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$\frac{4 x^{2} - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.17

以因式分解的形式重写 $4 x^{2} - x^{4}$ 。

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解题步骤 4.8.17.1

从 $4 x^{2} - x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.8.17.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 4 - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.17.1.2

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.17.1.3

从 $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.17.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (2^{2} - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.8.17.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$\frac{x^{2} (2 + x) (2 - x)}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.9

约去公因数。

$\frac{x^{2} (2 + x) (2 - x)}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

解题步骤 4.10

重写表达式。

$\frac{x^{2} (2 - x)}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 - x)}$

解题步骤 4.11

约去公因数。

$\frac{x^{2} (2 - x)}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 - x)}$

解题步骤 4.12

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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