微积分学示例

$y = \sqrt{\sec (x)}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\sec (x)}$ 重写成 ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 8

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

组合 $\sec (x)$ 和 $\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \tan (x)$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{\sec (x) \tan (x) {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 10

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.1

移动 ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (x) \tan (x)}{2}$

解题步骤 10.2

将 ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 10.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (x) \tan (x)}{2}$

解题步骤 10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + 1} \tan (x)}{2}$

解题步骤 10.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \tan (x)}{2}$

解题步骤 10.4

在公分母上合并分子。

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}} \tan (x)}{2}$

解题步骤 10.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{1}{2}} \tan (x)}{2}$

微积分学 示例

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