微积分学示例

$y = \frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} - 4 x - 7$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2} - 4 x - 7] - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x^{2} - 4 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x + 3) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + 0) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $- 2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.13

化简表达式。

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解题步骤 2.13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (- 2 x - 4)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (- 2 x - 4) + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.3

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 2 x^{2} - 4 \cdot x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.5

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

从 $- 4 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + 1 x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $- 2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 10 x - 12 + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $- 10 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 6 x - 12 + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $- 12$ 和 $7$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 6 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ 并且它们的和为 $b = - 6$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$\frac{- x^{2} - 6 (x) - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

把 $- 6$ 重写为 $- 1$ 加 $- 5$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 5) x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} - 1 x - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- x - 1) + 5 (- x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- x - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.6

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

微积分学 示例

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