微积分学示例

$y = \frac{x^{3}}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(1 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $3$ 移到 $1 - x^{2}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

乘。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

将 $2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 3 x^{4}$ 和 $2 x^{4}$ 相加。

$\frac{3 x^{2} - x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{- x^{4} + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $- x^{4} + 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

从 $x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6

化简分母。

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解题步骤 5.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.6.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

解题步骤 5.6.4

对 $(1 + x) (1 - x)$ 运用乘积法则。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.7

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.8

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.9

从 $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} (- (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.10

将 $- (x^{2} - 3)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 3)$ 。

$\frac{x^{2} (- 1 (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 5.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} (x^{2} - 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

微积分学 示例

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