微积分学示例

$y = \frac{x^{5}}{4 - x^{4}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = 4 - x^{4}$ 。

$\frac{(4 - x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{(4 - x^{4}) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $5$ 移到 $4 - x^{4}$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $4 - x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 相加。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [- x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.7

乘。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 1 x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} (4 x^{3})}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3} x^{5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3 + 5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{8} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4

将 $4$ 移到 $x^{8}$ 的左侧。

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 4 \cdot x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(5 \cdot 4 + 5 (- x^{4})) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{5 \cdot 4 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{20 x^{4} + 5 (- (x^{4} x^{4})) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4 + 4}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{8}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{20 x^{4} - 5 x^{8} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 5 x^{8}$ 和 $4 x^{8}$ 相加。

$\frac{20 x^{4} - x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{- x^{8} + 20 x^{4}}{{(- x^{4} + 4)}^{2}}$

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