微积分学示例

$y = \frac{x^{3} + 1}{8 x}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3} + 1}{8 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$ 。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} + 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$ 。

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{8 x^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1 \cdot 1}{8 x^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{8 x^{2}}$

解题步骤 9.2.2

从 $3 x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 1}{8 x^{2}}$

微积分学 示例

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