微积分学示例

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{x^{3}}{3}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.6

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.7

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.7.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.7.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.7.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 2.7.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{3}}{9}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

解题步骤 3.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{- 3}{9}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

解题步骤 3.6

约去 $- 3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{\ln (x)}{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{3 \ln (x)}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $\ln (x) x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.5

要将 $\frac{1}{3} x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.6

组合 $\frac{1}{3} x^{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.7

在公分母上合并分子。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.9

组合 $\frac{x^{2}}{3}$ 和 $3$ 。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.10

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.11

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.11.1

约去公因数。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.11.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

解题步骤 4.2.12

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

解题步骤 4.2.13

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.13.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

解题步骤 4.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.13.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.13.2.2

约去公因数。

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.13.2.3

重写表达式。

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

解题步骤 4.2.13.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) x^{2} + 0$

解题步骤 4.2.14

将 $\ln (x) x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (x) x^{2}$

解题步骤 4.3

重新排序 $\ln (x) x^{2}$ 的因式。

$x^{2} \ln (x)$

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