微积分学示例

$y = \frac{1}{x^{2} + x}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x^{2} + x}$ 重写为 ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

解题步骤 4.2

重新排序 $- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ 的因式。

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简分母。

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解题步骤 4.6.1

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

对 $x (x + 1)$ 运用乘积法则。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $- 2 x - 1$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.10

从 $- (2 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将 $- (2 x + 1)$ 重写为 $- 1 (2 x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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