微积分学示例

$y = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.4

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 2.8

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 。

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{3}$ 。

$- 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.6

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.8

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.8.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.9

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.10

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $0$ 。

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + 0$

解题步骤 3.11

将 $3 x^{- 4}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{- 4}$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$- \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}$

微积分学 示例

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