微积分学示例

$y = \frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$ 。

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解题步骤 1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

将 $196 x^{8}$ 重写为 ${(14 x^{4})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$

解题步骤 1.1.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{15^{2}}{x^{2}}}]$

解题步骤 1.1.3

将 $\frac{15^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{15}{x})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

解题步骤 1.1.4

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$420 x^{3} = 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x}$

解题步骤 1.1.5

重写多项式。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

解题步骤 1.1.6

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 14 x^{4}$ 和 $b = \frac{15}{x}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4} + \frac{15}{x})}^{2}}]$

解题步骤 1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ 且 $g (x) = 14 x^{4} + \frac{15}{x}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [14 x^{4} + \frac{15}{x}] + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $14 x^{4} + \frac{15}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (14 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (14 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $14$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.5

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{15}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.6

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 (- x^{- 2})) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.8.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 3.8.3

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.8.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.8.3.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

组合 $56$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{56}{x^{4}} x^{3} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.2

组合 $\frac{56}{x^{4}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{56 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.3

约去 $x^{3}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.3.1

从 $56 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.3.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.4

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{- 15}{x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{15}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.6

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 乘以 $\frac{15}{x^{2}}$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4} x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.7

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4 + 2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.7.2

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} \frac{- 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- \frac{4}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.10

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - 14 x^{4} \frac{4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.11

组合 $- 14$ 和 $\frac{4}{x^{5}}$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 14 \cdot 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.12

将 $- 14$ 乘以 $4$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.13

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{- 56}{x^{5}}$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.14

将 $- 56$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56 \cdot x^{4}}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.15

约去 $x^{4}$ 和 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.15.1

从 $- 56 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.15.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.15.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.15.2.2

约去公因数。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.15.2.3

重写表达式。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.16

将负号移到分数的前面。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.17

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} \cdot \frac{- 4}{x^{5}}$

解题步骤 4.5.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- \frac{4}{x^{5}})$

解题步骤 4.5.19

将 $\frac{15}{x}$ 乘以 $\frac{4}{x^{5}}$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{15 \cdot 4}{x \cdot x^{5}}$

解题步骤 4.5.20

将 $15$ 乘以 $4$ 。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x \cdot x^{5}}$

解题步骤 4.5.21

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.5.21.1

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.5.21.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1} x^{5}}$

解题步骤 4.5.21.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1 + 5}}$

解题步骤 4.5.21.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{6}}$

解题步骤 4.5.22

从 $\frac{56}{x}$ 中减去 $\frac{56}{x}$ 。

$- \frac{15}{x^{6}} + 0 - \frac{60}{x^{6}}$

解题步骤 4.5.23

将 $- \frac{15}{x^{6}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{15}{x^{6}} - \frac{60}{x^{6}}$

解题步骤 4.5.24

在公分母上合并分子。

$\frac{- 15 - 60}{x^{6}}$

解题步骤 4.5.25

从 $- 15$ 中减去 $60$ 。

$\frac{- 75}{x^{6}}$

解题步骤 4.5.26

将负号移到分数的前面。

$- \frac{75}{x^{6}}$

微积分学 示例

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