微积分学示例

$x^{5} \ln (x)$

解题步骤 1

将 $x^{5} \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.1.3.1

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.3.2

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.5

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

解题步骤 2.1.1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ 。

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.1.2.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.2.5

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.2.6

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.6.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.2.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.2.6.2.3

约去公因数。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.2.6.2.4

重写表达式。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.2.6.2.5

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.3.1

运用分配律。

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.3.2

合并项。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

将 $4 x^{3}$ 和 $5 x^{3}$ 相加。

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

解题步骤 2.1.2.3.3

重新排序项。

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ 。

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

从等式两边同时减去 $9 x^{3}$ 。

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

解题步骤 2.2.3

将 $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ 中的每一项除以 $20 x^{3}$ 并化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ 中的每一项都除以 $20 x^{3}$ 。

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.3.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.3.1.1

约去公因数。

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2

重写表达式。

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

解题步骤 2.2.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

解题步骤 2.2.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

解题步骤 2.2.5

使用对数的定义将 $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

解题步骤 2.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

将方程重写为 $x = e^{- \frac{9}{20}}$ 。

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

解题步骤 2.2.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

解题步骤 3

求 $f (x) = x^{5} \ln (x)$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 3.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(0, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0.32$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.32) = 9 {(0.32)}^{3} + 20 {(0.32)}^{3} \ln (0.32)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0.32$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.32) = 9 \cdot 0.032768 + 20 {(0.32)}^{3} \ln (0.32)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0.032768$ 。

$f'' (0.32) = 0.294912 + 20 {(0.32)}^{3} \ln (0.32)$

解题步骤 5.2.1.3

对 $0.32$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.32) = 0.294912 + 20 \cdot (0.032768 \ln (0.32))$

解题步骤 5.2.1.4

将 $20$ 乘以 $0.032768$ 。

$f'' (0.32) = 0.294912 + 0.65536 \ln (0.32)$

解题步骤 5.2.1.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $0.65536 \ln (0.32)$ 。

$f'' (0.32) = 0.294912 + \ln ({0.32}^{0.65536})$

解题步骤 5.2.1.6

对 $0.32$ 进行 $0.65536$ 次方运算。

$f'' (0.32) = 0.294912 + \ln (0.47390914)$

解题步骤 5.2.2

将 $0.294912$ 和 $\ln (0.47390914)$ 相加。

$f'' (0.32) = - 0.45182765$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 0.45182765$ 。

$- 0.45182765$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(0, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ 上向下凹，因为 $f'' (0.32)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = 9 {(3)}^{3} + 20 {(3)}^{3} \ln (3)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3) = 9 \cdot 27 + 20 {(3)}^{3} \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $9$ 乘以 $27$ 。

$f'' (3) = 243 + 20 {(3)}^{3} \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3) = 243 + 20 \cdot (27 \ln (3))$

解题步骤 6.2.1.4

将 $20$ 乘以 $27$ 。

$f'' (3) = 243 + 540 \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $540 \ln (3)$ 。

$f'' (3) = 243 + \ln (3^{540})$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $243 + \ln (3^{540})$ 。

$243 + \ln (3^{540})$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

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