微积分学示例

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

解题步骤 1

将 $y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $15 x^{4} - 15 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $15 x^{4} - 15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

解题步骤 2.2.2.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

解题步骤 2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 15$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $60 x^{3} - 30 x$ 。

$60 x^{3} - 30 x$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $60 x^{3} - 30 x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$60 x^{3} - 30 x = 0$

解题步骤 3.2

从 $60 x^{3} - 30 x$ 中分解出因数 $30 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $60 x^{3}$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 30 x$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $2 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x^{2} = 1$

解题步骤 3.5.2.2

将 $2 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $2 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 中求得的点为 $(0, 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 1)$

解题步骤 4.3

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{2^{5}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.2.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.2.3

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.2.3.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.2.3.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.2.4

从根式下提出各项。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.4

约去 $4$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.5

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.6

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.7

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1.7.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.7.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.7.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.7.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.7.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.7.4

从根式下提出各项。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{8} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.9

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.9.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.9.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.9.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.9.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.10

组合 $- 5$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

解题步骤 4.3.2.2

要将 $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

解题步骤 4.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

解题步骤 4.3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

解题步骤 4.3.2.5

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.5.1.1

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

解题步骤 4.3.2.5.1.2

从 $3 \sqrt{2}$ 中减去 $10 \sqrt{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8} + 1$

解题步骤 4.3.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

解题步骤 4.3.2.6

最终答案为 $- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ 。

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

解题步骤 4.4

通过将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 中求得的点为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

解题步骤 4.5

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2

化简结果。

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解题步骤 4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.5.2.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 4.5.2.1.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{2^{5}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.3.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.3.3

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.3.3.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.3.3.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.3.4

从根式下提出各项。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.5

约去 $4$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.5.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.5.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.5.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.5.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.6

乘以 $3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.6.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(3) \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

解题步骤 4.5.2.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.5.2.1.8.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.8.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.9

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.10

化简分子。

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解题步骤 4.5.2.1.10.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.10.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.10.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.10.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.10.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.10.4

从根式下提出各项。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.11

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.12

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.12.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.12.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.12.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.12.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.12.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.13

乘以 $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

解题步骤 4.5.2.1.13.2

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

解题步骤 4.5.2.2

要将 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

解题步骤 4.5.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 4.5.2.3.1

将 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

解题步骤 4.5.2.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

解题步骤 4.5.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

解题步骤 4.5.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.2.5.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

解题步骤 4.5.2.5.2

将 $- 3 \sqrt{2}$ 和 $10 \sqrt{2}$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

解题步骤 4.5.2.6

最终答案为 $\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ 。

$\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

解题步骤 4.6

通过将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入 $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 中求得的点为 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

解题步骤 4.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.80710678$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.80710678) = 60 {(- 0.80710678)}^{3} - 30 \cdot - 0.80710678$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.80710678$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.80710678) = 60 \cdot - 0.52576659 - 30 \cdot - 0.80710678$

解题步骤 6.2.1.2

将 $60$ 乘以 $- 0.52576659$ 。

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 - 30 \cdot - 0.80710678$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 30$ 乘以 $- 0.80710678$ 。

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

解题步骤 6.2.2

将 $- 31.54599564$ 和 $24.21320343$ 相加。

$f'' (- 0.80710678) = - 7.3327922$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 7.3327922$ 。

$- 7.3327922$

解题步骤 6.3

在 $- 0.80710678$ ，二阶导数为 $- 7.3327922$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 0.35355339$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.35355339) = 60 {(- 0.35355339)}^{3} - 30 \cdot - 0.35355339$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 0.35355339$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.35355339) = 60 \cdot - 0.04419417 - 30 \cdot - 0.35355339$

解题步骤 7.2.1.2

将 $60$ 乘以 $- 0.04419417$ 。

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 - 30 \cdot - 0.35355339$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 30$ 乘以 $- 0.35355339$ 。

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

解题步骤 7.2.2

将 $- 2.65165042$ 和 $10.60660171$ 相加。

$f'' (- 0.35355339) = 7.95495128$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $7.95495128$ 。

$7.95495128$

解题步骤 7.3

在 $- 0.35355339$ 处，二阶导数为 $7.95495128$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.35355339$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.35355339) = 60 {(0.35355339)}^{3} - 30 \cdot 0.35355339$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.35355339$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.35355339) = 60 \cdot 0.04419417 - 30 \cdot 0.35355339$

解题步骤 8.2.1.2

将 $60$ 乘以 $0.04419417$ 。

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 30 \cdot 0.35355339$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 30$ 乘以 $0.35355339$ 。

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

解题步骤 8.2.2

从 $2.65165042$ 中减去 $10.60660171$ 。

$f'' (0.35355339) = - 7.95495128$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 7.95495128$ 。

$- 7.95495128$

解题步骤 8.3

在 $0.35355339$ ，二阶导数为 $- 7.95495128$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $0.80710678$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.80710678) = 60 {(0.80710678)}^{3} - 30 \cdot 0.80710678$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $0.80710678$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.80710678) = 60 \cdot 0.52576659 - 30 \cdot 0.80710678$

解题步骤 9.2.1.2

将 $60$ 乘以 $0.52576659$ 。

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 30 \cdot 0.80710678$

解题步骤 9.2.1.3

将 $- 30$ 乘以 $0.80710678$ 。

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

解题步骤 9.2.2

从 $31.54599564$ 中减去 $24.21320343$ 。

$f'' (0.80710678) = 7.3327922$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $7.3327922$ 。

$7.3327922$

解题步骤 9.3

在 $0.80710678$ 处，二阶导数为 $7.3327922$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例