微积分学示例

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 6}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 6}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 6}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} + 6$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.4

合并分数。

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解题步骤 4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

组合 $2$ 和 $\frac{(x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ 。

$\frac{2 ((x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 6 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (6 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $2 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

从 $- 4 e^{x} x$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

从 $12 e^{x}$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.5.4

从 $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.5.5

从 $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (6)$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

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