微积分学示例

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

合并分数。

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解题步骤 4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

组合 $2$ 和 $\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 ((x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (1 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.1

从 $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

从 $2 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.2

从 $- 4 e^{x} x$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.3

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.4

从 $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.1.5

从 $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)$ 中分解出因数 $2 e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 5.5.2.3

重写多项式。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{2 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

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