微积分学示例

$y = \frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{5 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{5} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{5} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{5} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{- 4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{- 4}{5}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$\frac{- 4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$\frac{- 4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 2.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{5}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{3 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 3.10

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} + 2 (\frac{5}{3}) x^{- 3}$

解题步骤 3.11

组合 $2$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{2 \cdot 5}{3} x^{- 3}$

解题步骤 3.12

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3} x^{- 3}$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{10}{3}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10 x^{- 3}}{3}$

解题步骤 3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3 x^{3}}$

解题步骤 4

重新排序项。

$\frac{10}{3 x^{3}} - \frac{4}{5 x^{5}}$

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