微积分学示例

$y = \frac{1 + \ln (x)}{1 - \ln (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 - \ln (x)$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 相加。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $1 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 相加。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5

乘。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + 1 (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $1 + \ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

合并 $1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $- \ln (x) \frac{1}{x}$ 和 $\ln (x) \frac{1}{x}$ 相加。

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + 0}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 + 1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4

合并项。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $\frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ 。

$\frac{2}{x {(1 - \ln (x))}^{2}}$

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