微积分学示例

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 9

乘。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 9.2

将 $1 + \sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2

化简分子。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2.1.2

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 10.2.1.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2.1.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2.2

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2.3

重新整理项。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 10.2.4

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

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