微积分学示例

$y = \frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$ 重写为 ${(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 4 - 5 x - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - 5 x - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $4 - 5 x - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 - 5 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.6

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - (2 x))$

解题步骤 3.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - 2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$

解题步骤 4.2

重新排序 $- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$ 的因式。

$- (- 5 - 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$(- - 5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$(5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$(5 + 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $5 + 2 x$ 乘以 $\frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{5 + 2 x}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

微积分学 示例

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