微积分学示例

$y = \frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sinh (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.2.2

$\sinh (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cosh (u)$ 。

$\frac{1}{4} (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.6

将 $2$ 移到 $\cosh (2 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{4} (2 \cdot \cosh (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2}{4} \cosh (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{2}{4}$ 和 $\cosh (2 x)$ 。

$\frac{2 \cosh (2 x)}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.9

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

从 $2 \cosh (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\cosh (2 x))}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{\cosh (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2}$

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