微积分学示例

$y = 3 x^{2} \sin (2 x)$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (2 x)$ 。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$3 (x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$3 (x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 (x^{2} (\cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 \sin (2 x) x$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 x \sin (2 x)$

微积分学 示例

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