微积分学示例

$y = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 - 3 x$ 且 $g (x) = 3 x^{2} + x$ 。

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{(3 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x^{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \cdot 1) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x^{2} + x) \cdot - 3 - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $- 3$ 移到 $3 x^{2} + x$ 的左侧。

$\frac{- 3 \cdot (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $3 x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 + 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 + 3 x) (6 x + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.3.1

运用分配律。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x + 1) + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.2

运用分配律。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.3

运用分配律。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.4.1.1

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.4.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.5

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.1.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $- 24 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4 + 18 x^{2}}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $- 9 x^{2}$ 和 $18 x^{2}$ 相加。

$\frac{9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $- 3 x$ 中减去 $21 x$ 。

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

从 $3 x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x^{1})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x \cdot 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

从 $x (3 x) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

对 $x (3 x + 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例