微积分学示例

$y = \frac{4 x}{\log_{4} (x)}$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{\log_{4} (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{4} (x)}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{4} (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \log_{4} (x)$ 。

$4 \frac{\log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{\log_{4} (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

将 $\log_{4} (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{\log_{4} (x) - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 4

$\log_{4} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (4)}$ 。

$4 \frac{\log_{4} (x) - x \frac{1}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{x \ln (4)}$ 和 $x$ 。

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{x}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{x}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 5.3

组合 $4$ 和 $\frac{\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$ 。

$\frac{4 (\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{4 \log_{4} (x) + 4 (- \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \log_{4} (x)$ 。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + 4 (- \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.2

乘以 $4 (- \frac{1}{\ln (4)})$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) - 4 \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{\ln (4)}$ 。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.3

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{\ln (2^{2})}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.4

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.5

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.5.2.1

从 $2 \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (\ln (2))}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 2}{\ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{\log_{4} (x^{4}) - \frac{2}{\ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

微积分学 示例

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