微积分学示例

$y = \frac{5}{2} \cdot (x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \cdot 5}{2} \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$

解题步骤 1.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{x^{3} \cdot 5}{2}$ 和 ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \cdot 5 {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}]$

解题步骤 1.2.2

将 $5$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}]$

解题步骤 1.3

因为 $\frac{5}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$ 。

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{5} - 5)}^{3}] + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 4 x^{5} - 5$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{5} - 5$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3

使用 $4 x^{5} - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $4 x^{5} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4} + 0)) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $20 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4})) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.6.2

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5}{2} (x^{3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2} x^{4}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{5}{2} (x^{4} x^{3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{2} (x^{4 + 3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} (3 x^{2}))$

解题步骤 7

将 $3$ 移到 ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 的左侧。

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + 3 \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2})) + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2

合并项。

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解题步骤 8.2.1

组合 $x^{7}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{x^{7} \cdot 5}{2} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.2

组合 $60$ 和 $\frac{x^{7} \cdot 5}{2}$ 。

$\frac{60 (x^{7} \cdot 5)}{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.3

将 $5$ 乘以 $60$ 。

$\frac{300 x^{7}}{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.4

组合 $\frac{300 x^{7}}{2}$ 和 ${(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 。

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}}{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.5

约去 $300$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.5.1

从 $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2 (1)} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}}{1} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.5.2.4

用 $150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.6

组合 $3$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{3 \cdot 5}{2} ({(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.7

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{15}{2} ({(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

解题步骤 8.2.8

组合 ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 和 $\frac{15}{2}$ 。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15}{2} x^{2}$

解题步骤 8.2.9

组合 $\frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15 x^{2}}{2}$

解题步骤 8.2.10

将 $15$ 移到 ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 的左侧。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{15 \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

解题步骤 8.2.11

要将 $150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

解题步骤 8.2.12

组合 $150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

解题步骤 8.2.13

在公分母上合并分子。

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot 2 + 15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

解题步骤 8.2.14

将 $2$ 乘以 $150$ 。

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$

解题步骤 8.4

化简分子。

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解题步骤 8.4.1

从 $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 中分解出因数 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1.1

从 $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 中分解出因数 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 。

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$

解题步骤 8.4.1.2

从 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 中分解出因数 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 。

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 x^{5} - 5)}{2}$

解题步骤 8.4.1.3

从 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 x^{5} - 5)$ 中分解出因数 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 。

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5} + 4 x^{5} - 5)}{2}$

解题步骤 8.4.2

将 $20 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (24 x^{5} - 5)}{2}$

微积分学 示例

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