微积分学示例

$y = \frac{5}{8} x^{8} - 4 x^{6} + 5 x + 10$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{5}{8} x^{8} - 4 x^{6} + 5 x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{8}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{5}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{8} x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 。

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$\frac{5}{8} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.3

组合 $8$ 和 $\frac{5}{8}$ 。

$\frac{8 \cdot 5}{8} x^{7} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.4

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{40}{8} x^{7} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{40}{8}$ 和 $x^{7}$ 。

$\frac{40 x^{7}}{8} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.6

约去 $40$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $40 x^{7}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (5 x^{7})}{8} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (5 x^{7})}{8 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{8 (5 x^{7})}{8 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{5 x^{7}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 2.6.2.4

用 $5 x^{7}$ 除以 $1$ 。

$5 x^{7} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{6}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$5 x^{7} - 4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$5 x^{7} - 4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 3.3

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$5 x^{7} - 24 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 x^{7} - 24 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 x^{7} - 24 x^{5} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 4.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{7} - 24 x^{5} + 5 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 5

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 x^{7} - 24 x^{5} + 5 + 0$

解题步骤 5.2

将 $5 x^{7} - 24 x^{5} + 5$ 和 $0$ 相加。

$5 x^{7} - 24 x^{5} + 5$

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