微积分学示例

$y = \frac{42}{\sqrt{49 + x^{2}}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{49 + x^{2}}$ 重写成 ${(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

因为 $42$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$42 \frac{d}{d x} [{({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.3.2

将 ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 49 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $49 + x^{2}$ 。

$42 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$42 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $49 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 8

组合 ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$42 (- \frac{{(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$42 (- \frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 乘以 $42$ 。

$- 42 (\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $- 42$ 。

$\frac{- 42}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

解题步骤 11

从 $- 42$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

解题步骤 12

约去公因数。

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解题步骤 12.1

从 $2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 21}{2 ({(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$\frac{- 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

解题步骤 13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

解题步骤 14

根据加法法则， $49 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 15

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 16

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

解题步骤 18

合并分数。

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解题步骤 18.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 18.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 18.3

将 $- 2$ 乘以 $21$ 。

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 18.4

组合 $\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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