微积分学示例

$y = \frac{4 x + 5}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x + 5$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 5

根据加法法则， $4 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + 0) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 10.2

将 $4$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

解题步骤 12

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

解题步骤 13

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 14

在公分母上合并分子。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 15

化简分子。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

解题步骤 15.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

解题步骤 16

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 17

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

解题步骤 18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

运用分配律。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + (- (4 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3

化简分子。

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解题步骤 19.3.1

化简每一项。

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解题步骤 19.3.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.3.1.2.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.2.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.2.3

约去公因数。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.2.4

重写表达式。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.3.1.6.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.6.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 19.3.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.6.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.7

将 $- 2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.8

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.9

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.1.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.3.2

从 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4

化简分子。

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解题步骤 19.4.1

要将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.2

组合 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.4

化简分子。

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解题步骤 19.4.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.4.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.4.4.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.4.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.4.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{1} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.4.3

化简 $2 \cdot 2 x^{1}$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.4.4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 19.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 19.6

乘以 $\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 19.6.1

将 $\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 19.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 19.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.6.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 19.6.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 19.6.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

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