微积分学示例

$y = \frac{1}{\ln (3 x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\ln (3 x)}$ 重写为 $\ln^{- 1} (3 x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (3 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \ln (3 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \ln^{- 2} (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $\ln^{- 2} (3 x)$ 。

$- \frac{\ln^{- 2} (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $\ln^{- 2} (3 x)$ 移动到分母。

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简项。

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解题步骤 4.4.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)}$ 。

$\frac{- 3}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.3.2.1

从 $3 x \ln^{2} (3 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \cdot 1$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)}$

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