微积分学示例

$y = - \frac{3}{5 x + 2}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{5 x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{5 x + 2}$ 重写为 ${(5 x + 2)}^{- 1}$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 5 x + 2$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x + 2$ 。

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 2.3

使用 $5 x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 (- {(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$3 ({(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $5 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + 0)$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} \cdot 5$

解题步骤 3.7.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 {(5 x + 2)}^{- 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$15 \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

组合 $15$ 和 $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{15}{{(5 x + 2)}^{2}}$

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