微积分学示例

$y = \frac{3 + 4 x - 6 \sqrt{x}}{x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}] - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 相加。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (4 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{x (4 - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (4 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (4 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10

组合 $- 6$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x (4 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x (4 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 12

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 13

约去公因数。

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解题步骤 13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{x (4 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\frac{x (4 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (4 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - (3 + 4 x - 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot 4 + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3

化简分子。

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解题步骤 17.3.1

化简每一项。

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解题步骤 17.3.1.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x + x (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 x - x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.3

组合 $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{4 x - \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{4 x - (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 17.3.1.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.5.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 17.3.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x - (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4 x - (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.5.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x - (3 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - (4 x) - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x - (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.1.9

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.2

合并 $4 x - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 - 4 x + 6 x^{\frac{1}{2}}$ 中相反的项。

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解题步骤 17.3.2.1

从 $4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 0 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.2.2

将 $- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 + 6 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 17.3.3

将 $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $6 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{2}}$

解题步骤 17.4

从 $3 x^{\frac{1}{2}} - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 17.4.1

从 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{2}}$

解题步骤 17.4.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)}{x^{2}}$

解题步骤 17.4.3

从 $3 (x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{2}}$

微积分学 示例

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