微积分学示例

$y = 3^{3 - x^{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 3^{x}$ 且 $g (x) = 3 - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $3 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3^{3 - x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$3^{3 - x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3^{3 - x^{2}} \ln (3) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$3^{3 - x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3^{3 - x^{2}} \ln (3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3^{3 - x^{2}} \ln (3) (- (2 x))$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3^{3 - x^{2}} \ln (3) (- 2 x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 $3^{3 - x^{2}} \ln (3) (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 \cdot 3^{3 - x^{2}} x \ln (3)$

解题步骤 3.2

将 $- 2 \cdot 3^{3 - x^{2}} x \ln (3)$ 中的因式重新排序。

$- 2 x \cdot 3^{3 - x^{2}} \ln (3)$

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