微积分学示例

$y = \frac{3 x^{4} + 9}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{4} + 9$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 9] - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $3 x^{4} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (12 x^{3} + 0) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.7

将 $12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (12 x^{3}) - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{5} \cdot 12 - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

将 $12$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$\frac{12 \cdot x^{5} - (3 x^{4} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{12 x^{5} - (3 x^{4} + 9) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4} + 9) x}{x^{4}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{12 x^{5} + (- 2 (3 x^{4}) - 2 \cdot 9) x}{x^{4}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{4}) x - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x \cdot x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 7.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 (x^{1} x^{4})) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{1 + 4}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.3.1.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{12 x^{5} - 2 (3 x^{5}) - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.3.1.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 2 \cdot 9 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{12 x^{5} - 6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.3.2

从 $12 x^{5}$ 中减去 $6 x^{5}$ 。

$\frac{6 x^{5} - 18 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.4

从 $6 x^{5} - 18 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 7.4.1

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$\frac{6 x (x^{4}) - 18 x}{x^{4}}$

解题步骤 7.4.2

从 $- 18 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$\frac{6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)}{x^{4}}$

解题步骤 7.4.3

从 $6 x (x^{4}) + 6 x (- 3)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$\frac{6 x (x^{4} - 3)}{x^{4}}$

解题步骤 7.5

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

从 $6 x (x^{4} - 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x^{4}}$

解题步骤 7.5.2

约去公因数。

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解题步骤 7.5.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 7.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x (6 (x^{4} - 3))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 7.5.2.3

重写表达式。

$\frac{6 (x^{4} - 3)}{x^{3}}$

微积分学 示例

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