微积分学示例

$y = {(6 - e^{x})}^{5}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = 6 - e^{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 - e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $6 - e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $6 - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

解题步骤 2.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 相加。

$5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 5 {(6 - e^{x})}^{4} e^{x}$

解题步骤 4

重新排序 $- 5 {(6 - e^{x})}^{4} e^{x}$ 的因式。

$- 5 e^{x} {(6 - e^{x})}^{4}$

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