微积分学示例

$y = {(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$

解题步骤 1

根据加法法则， ${(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = 5 - 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 - 2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $5 - 2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $5 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.7

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 2.8

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \frac{2}{x} + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{2}{x} + 1$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\frac{2}{x} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $\frac{2}{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + 0))$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2} + 0))$

解题步骤 3.9

将 $- 2 x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2}))$

解题步骤 3.10

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

解题步骤 3.11

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8}{8} ({(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

解题步骤 3.12

组合 ${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ 和 $\frac{- 8}{8}$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8} x^{- 2}$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8 x^{- 2}}{8}$

解题步骤 3.14

将 $- 8$ 移到 ${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ 的左侧。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2}}{8}$

解题步骤 3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{8 x^{2}}$

解题步骤 3.16

约去 $- 8$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.16.1

从 $- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

解题步骤 3.16.2

约去公因数。

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解题步骤 3.16.2.1

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 (x^{2})}$

解题步骤 3.16.2.2

约去公因数。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

解题步骤 3.16.2.3

重写表达式。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 3.17

将负号移到分数的前面。

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 \frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

合并项。

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解题步骤 5.1.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 。

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.2

要将 $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.3

要将 $- \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 。

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

解题步骤 5.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 。

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

解题步骤 5.1.4.3

重新排序 ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ 的因式。

$\frac{6 x^{2}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

解题步骤 5.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{6 x^{2} - {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{6 x^{2} - {(5 - 2 x)}^{4} {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

微积分学 示例

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