微积分学示例

$y = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 5 x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $5$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot (x^{2} + 1) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 (x^{2} + 1) - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 + (- 2 (5 x) - 2 \cdot - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x^{2}) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $5 x^{2}$ 中减去 $10 x^{2}$ 。

$\frac{- 5 x^{2} + 5 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$\frac{- 5 x^{2} + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

从 $- 5 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{2}) + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

从 $4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

从 $- (5 x^{2}) - (- 4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $5$ 重写为 $- 1 (- 5)$ 。

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

从 $- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $- (5 x^{2} - 4 x - 5)$ 重写为 $- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)$ 。

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 x^{2} - 4 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

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