微积分学示例

$y = \frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$

解题步骤 1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 e^{x} + 1$ 。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

将 $2 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x} e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

移动 $e^{x}$ 。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (e^{x} e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x + x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 8

组合 $8$ 和 $\frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{8 ((2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 9.3.1.1.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{8 (2 (e^{x} e^{x})) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 (2 e^{x + x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.1.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{8 (2 e^{2 x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16 e^{2 x} + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.3

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3.2

合并 $16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $16 e^{2 x}$ 中减去 $16 e^{2 x}$ 。

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.2

将 $8 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

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