微积分学示例

$y = \cos^{4} (x) (1 - 2 t)$

解题步骤 1

因为 $1 - 2 t$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\cos^{4} (x) (1 - 2 t)$ 对 $x$ 的导数是 $(1 - 2 t) \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ 。

$(1 - 2 t) \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$(1 - 2 t) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$(1 - 2 t) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(1 - 2 t) (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

将 $4$ 移到 $1 - 2 t$ 的左侧。

$4 \cdot (1 - 2 t) \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 (1 - 2 t) \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (1 - 2 t) \cos^{3} (x) \sin (x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$(- 4 \cdot 1 - 4 (- 2 t)) \cos^{3} (x) \sin (x)$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(- 4 \cdot 1 \cos^{3} (x) - 4 (- 2 t) \cos^{3} (x)) \sin (x)$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$- 4 \cdot 1 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 (- 2 t) \cos^{3} (x) \sin (x)$

解题步骤 6.4

合并项。

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解题步骤 6.4.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 (- 2 t) \cos^{3} (x) \sin (x)$

解题步骤 6.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + 8 t \cos^{3} (x) \sin (x)$

微积分学 示例