微积分学示例

$y = {\cos (9 x)}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${\cos (9 x)}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({\cos (9 x)}^{x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (9 x)}^{x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({\cos (9 x)}^{x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (9 x))}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (\cos (9 x))$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x \ln (\cos (9 x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

解题步骤 2.3

使用 $x \ln (\cos (9 x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (9 x))]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (\cos (9 x))$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (9 x))] + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (9 x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (9 x)$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用 $\cos (9 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\frac{1}{\cos (9 x)} \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\cos (9 x)}$ 转换成 $\sec (9 x)$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $9 x$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.2

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $- \sin (u_{3})$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)) \cdot 1)$

解题步骤 7.6

将 $\ln (\cos (9 x))$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x))) + \ln (\cos (9 x)))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} (x (\sec (9 x) (- 9 \sin (9 x)))) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$

解题步骤 8.2

去掉圆括号。

$e^{x \ln (\cos (9 x))} x \sec (9 x) (- 9 \sin (9 x)) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$- 9 e^{x \ln (\cos (9 x))} x \sec (9 x) \sin (9 x) + e^{x \ln (\cos (9 x))} \ln (\cos (9 x))$

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