微积分学示例

$y = {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\sqrt{7}}$ 且 $g (x) = x + \frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + \frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\sqrt{7}}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \sqrt{7}$ 。

$\sqrt{7} u^{\sqrt{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $x + \frac{1}{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

解题步骤 2.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

解题步骤 2.3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - 2 x^{- 3})$

解题步骤 3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - 2 \frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

合并项。

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解题步骤 4.1.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{- 2}{x^{3}})$

解题步骤 4.1.2

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - \frac{2}{x^{3}})$

解题步骤 4.2

重新排序 $\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - \frac{2}{x^{3}})$ 的因式。

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} \sqrt{7} (1 - \frac{2}{x^{3}})$

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