微积分学示例

$y = {(x + \sqrt{x})}^{5}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{5}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

微积分学 示例

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