微积分学示例

$y = {(x + (x + {(\sin^{2} (x))}^{5}))}^{3}$

解题步骤 1

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(\sin^{2} (x))}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + x + {\sin (x)}^{2 \cdot 5})}^{3}]$

解题步骤 1.1.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + x + \sin^{10} (x))}^{3}]$

解题步骤 1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [{(2 x + \sin^{10} (x))}^{3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x + \sin^{10} (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x + \sin^{10} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $2 x + \sin^{10} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x + \sin^{10} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)]$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{10}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 \sin^{9} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 \sin^{9} (x) \cos (x))$

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