微积分学示例

$y = \frac{e^{2 x}}{\sin (5 x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

$\frac{\sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\sin (5 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{\sin (5 x) (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 4.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 4.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) \cdot 1)}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.4

将 $\cos (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.1.2

将 $2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.2

从 $2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $2 e^{2 x} \sin (5 x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.2.2

从 $- 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.2.3

从 $e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x) - 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$

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