微积分学示例

$y = \log_{2} ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{2} (x)$ 且 $g (x) = {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 1.2

$\log_{2} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 且 $g (x) = 2 x^{2} - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x^{2} - x$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {u_{2}}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 2.3

使用 $2 x^{2} - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 7

组合 $\frac{5}{2}$ 和 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

解题步骤 8

将 $\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)}$ 。

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2))} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2) {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

通过指数相加将 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ 乘以 ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

移动 ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 。

$\frac{5}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

解题步骤 10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

解题步骤 10.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{- 3 + 5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

解题步骤 10.1.4

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

解题步骤 10.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

解题步骤 10.2

化简 $2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)$ 。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

解题步骤 11

根据加法法则， $2 x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 12

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 14

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1 \cdot 1)$

解题步骤 17

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1)$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$\frac{5}{(2 (2 x^{2}) + 2 (- x)) \ln (2)} (4 x - 1)$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$\frac{5}{2 (2 x^{2}) \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

解题步骤 18.3

合并项。

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解题步骤 18.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

解题步骤 18.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$

解题步骤 18.4

重新排序 $\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$ 的因式。

$(4 x - 1) \frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)}$

解题步骤 18.5

从 $4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)$ 中分解出因数 $2 x \ln (2)$ 。

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解题步骤 18.5.1

从 $4 x^{2} \ln (2)$ 中分解出因数 $2 x \ln (2)$ 。

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) - 2 x \ln (2)}$

解题步骤 18.5.2

从 $- 2 x \ln (2)$ 中分解出因数 $2 x \ln (2)$ 。

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)}$

解题步骤 18.5.3

从 $2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)$ 中分解出因数 $2 x \ln (2)$ 。

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

解题步骤 18.6

将 $4 x - 1$ 乘以 $\frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$ 。

$\frac{(4 x - 1) \cdot 5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

解题步骤 18.7

将 $5$ 移到 $4 x - 1$ 的左侧。

$\frac{5 (4 x - 1)}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

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