微积分学示例

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 7}{x - 2}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 2 x - 7$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 7] - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.10

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 7)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(x - 2) (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (2 x + 2)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x + 2) - 2 (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 - 2 (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 x - 2 \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 4 x - 4 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

从 $2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 - x^{2} - (2 x) - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 - x^{2} - 2 x - - 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 - x^{2} - 2 x + 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 2 x - 4 - 2 x + 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x^{2} - 4 x - 4 + 7}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $- 4$ 和 $7$ 相加。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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