微积分学示例

$y = \frac{x^{2} + 9}{x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 9$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

解题步骤 9.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 9.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

微积分学 示例

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