微积分学示例

$y = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{\sqrt{x} + 3}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{3}} - 7}{\sqrt{x} + 3}]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{3}} - 7}{x^{\frac{1}{2}} + 3}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 7$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 3$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 7] - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{3}} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 9

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0) - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 3]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 11

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 15

在公分母上合并分子。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 16

化简分子。

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解题步骤 16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 16.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 17

合并分数。

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解题步骤 17.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 17.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 17.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 18

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 19

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (x^{\frac{1}{3}} - 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + (- x^{\frac{1}{3}} - - 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.3

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4

化简分子。

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解题步骤 20.4.1

化简每一项。

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解题步骤 20.4.1.1

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 20.4.1.1.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{6}})} + 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.1.2

约去公因数。

解题步骤 20.4.1.1.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 20.4.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.3

约去 $x^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 20.4.1.3.1

从 $- x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.3.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{1}{6}})} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.3.3

约去公因数。

解题步骤 20.4.1.3.4

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.4

将 $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}}$ 重写为 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}}$ 。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}} + 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.1.6

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.2

要将 $\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.3

要将 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6 x^{\frac{1}{6}}$ 的形式。

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解题步骤 20.4.4.1

将 $\frac{1}{3 x^{\frac{1}{6}}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{2}{3 x^{\frac{1}{6}} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{2}{6 x^{\frac{1}{6}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.4.3

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{6}}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{2}{6 x^{\frac{1}{6}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{6}} \cdot 3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{2}{6 x^{\frac{1}{6}}} - \frac{3}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 - 3}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.6

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{- 1}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5

合并项。

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解题步骤 20.5.1

将 $\frac{- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{2 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.2

合并。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}}) + 2 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 2 x^{\frac{2}{3}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.4

约去 $x^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 20.5.4.1

从 $2 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}}) + x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 2 x^{\frac{2}{3}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.4.2

约去公因数。

解题步骤 20.5.4.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}}) + 2 + 2 x^{\frac{2}{3}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.5

约去 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 20.5.5.1

从 $2 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}}) + 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{6}}) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.5.2

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}}) + 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{6}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.5.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}}) + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{6 x^{\frac{1}{6}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{- 2}{6 x^{\frac{1}{6}}} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.8

组合 $x^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{- 2}{6 x^{\frac{1}{6}}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{6 x^{\frac{1}{6}}} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.9

将 $- 2$ 移到 $x^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{- 2 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{6 x^{\frac{1}{6}}} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.10

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{6}}$ 移动到分子。

$\frac{\frac{- 2 x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{6}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{6}}$ 。

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解题步骤 20.5.11.1

移动 $x^{- \frac{1}{6}}$ 。

$\frac{\frac{- 2 (x^{- \frac{1}{6}} x^{\frac{2}{3}})}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- 2 x^{- \frac{1}{6} + \frac{2}{3}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.3

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{- 2 x^{- \frac{1}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 20.5.11.4.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{- 2 x^{- \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{- 2 x^{- \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{6}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.6

化简分子。

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解题步骤 20.5.11.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{- 2 x^{\frac{- 1 + 4}{6}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\frac{- 2 x^{\frac{3}{6}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.7

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 20.5.11.7.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{- 2 x^{\frac{3 (1)}{6}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.7.2

约去公因数。

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解题步骤 20.5.11.7.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{- 2 x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.7.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{- 2 x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.11.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.12

从 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (- x^{\frac{1}{2}})}{6} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.13

约去公因数。

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解题步骤 20.5.13.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (- x^{\frac{1}{2}})}{2 (3)} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.13.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 (- x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 3} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.13.3

重写表达式。

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{3} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3} + 2 + x^{\frac{1}{6}} \cdot 7}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.5.15

将 $7$ 移到 $x^{\frac{1}{6}}$ 的左侧。

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3} + 2 + 7 x^{\frac{1}{6}}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.6

重新排序项。

$\frac{7 x^{\frac{1}{6}} + 2 - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7

化简分子。

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解题步骤 20.7.1

要将 $7 x^{\frac{1}{6}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{7 x^{\frac{1}{6}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.2

组合 $7 x^{\frac{1}{6}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{7 x^{\frac{1}{6}} \cdot 3}{3} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{7 x^{\frac{1}{6}} \cdot 3 - x^{\frac{1}{2}}}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4

化简分子。

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解题步骤 20.7.4.1

从 $7 x^{\frac{1}{6}} \cdot 3 - x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

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解题步骤 20.7.4.1.1

移动 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$\frac{\frac{7 \cdot 3 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}}}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4.1.2

从 $7 \cdot 3 x^{\frac{1}{6}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (7 \cdot 3) - x^{\frac{1}{2}}}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4.1.3

从 $- x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (7 \cdot 3) + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{2}{6}})}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4.1.4

从 $x^{\frac{1}{6}} (7 \cdot 3) + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{2}{6}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (7 \cdot 3 - x^{\frac{2}{6}})}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (21 - x^{\frac{2}{6}})}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 20.7.4.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (21 - x^{\frac{2 (1)}{6}})}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 20.7.4.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (21 - x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (21 - x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (21 - x^{\frac{1}{3}})}{3} + 2}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.5

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (21 - x^{\frac{1}{3}})}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.6

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (21 - x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} (21 - x^{\frac{1}{3}}) + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8

化简分子。

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解题步骤 20.7.8.1

运用分配律。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot 21 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{1}{3}}) + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.2

将 $21$ 移到 $x^{\frac{1}{6}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{21 \cdot x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{1}{3}}) + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{21 \cdot x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{6}} x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{6}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 20.7.8.4.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}}) + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.3

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 20.7.8.4.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{2 + 1}{6}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{3}{6}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.7

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 20.7.8.4.7.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{3 (1)}{6}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 20.7.8.4.7.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.7.8.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}} + 6}{3}}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.8

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

解题步骤 20.9

乘以 $\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$ 。

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解题步骤 20.9.1

将 $\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}} + 6}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}} + 6}{3 (2 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2})}$

解题步骤 20.9.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}} + 6}{6 (x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2})}$

$\frac{21 x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{2}} + 6}{6 x^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{1}{2}} + 3)}^{2}}$

微积分学 示例

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