微积分学示例

$y = \sin^{2} (x) (x^{3})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{2} (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序项。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

添加圆括号。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} (\cos (x) \sin (x))$

解题步骤 5.2.2

将 $2 x^{3}$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 重新排序。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (2 x^{3})$

解题步骤 5.2.3

添加圆括号。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x^{3}$

解题步骤 5.2.4

将 $\cos (x)$ 和 $\sin (x) \cdot 2$ 重新排序。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) x^{3}$

解题步骤 5.2.5

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) x^{3}$

解题步骤 5.2.6

使用正弦倍角公式。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$

解题步骤 5.3

将 $3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$ 中的因式重新排序。

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + x^{3} \sin (2 x)$

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