微积分学示例

$y = \frac{\log_{6} (x)}{3 + x^{6}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \log_{6} (x)$ 且 $g (x) = 3 + x^{6}$ 。

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{d}{d x} [\log_{6} (x)] - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 2

$\log_{6} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (6)}$ 。

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 + x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{6}]$ 相加。

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (6 x^{5})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{3 \frac{1}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x \ln (6)}$ 。

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.2

从 $x \ln (6)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x (\ln (6))} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.3

约去公因数。

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2.4

重写表达式。

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{5} \frac{1}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{\ln (6)}$ 。

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 6 \log_{6} (x)$ 。

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$ 乘以 $\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)}$ 。

$\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)} \cdot \frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

合并。

$\frac{x \ln (6) (\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $x \ln (6)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{3 + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.5

约去 $\ln (6)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $x \ln (6)$ 中分解出因数 $\ln (6)$ 。

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.5.3

重写表达式。

$\frac{3 + x \cdot x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.3.6.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 + x^{1} x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 + x^{1 + 5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.6.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{3 + x^{6} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 + x^{6} + x^{5} x^{1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 + x^{6} + x^{5 + 1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.3.9

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 + x^{6} + x^{6} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{x^{6} - x^{6} \ln (6) \log_{6} (x^{6}) + 3}{x {(3 + x^{6})}^{2} \ln (6)}$

微积分学 示例

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