微积分学示例

$y = {(3 x - \frac{2}{x})}^{8}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = 3 x - \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - \frac{2}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $3 x - \frac{2}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x - \frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

解题步骤 2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 (- x^{- 2}))$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + 2 x^{- 2})$

解题步骤 3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + 2 \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + \frac{2}{x^{2}})$

微积分学 示例