微积分学示例

$y = \frac{300 x + 300}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 300 x + 300$ 且 $g (x) = {(2 x + 3)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${({(2 x + 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $300 x + 300$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3

因为 $300$ 对于 $x$ 是常数，所以 $300 x$ 对 $x$ 的导数是 $300 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.5

将 $300$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.6

因为 $300$ 对于 $x$ 是常数，所以 $300$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + 0) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

将 $300$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot 300 - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.7.2

将 $300$ 移到 ${(2 x + 3)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{300 \cdot {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x + 3$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 3$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 u \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.3

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4.7

化简表达式。

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解题步骤 4.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4.7.2

将 $2$ 移到 $2 x + 3$ 的左侧。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) (2 \cdot (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 4.7.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 4 (300 x + 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 ${(2 x + 3)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 3) (2 x + 3)$ 。

$\frac{300 ((2 x + 3) (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 3) (2 x + 3)$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{300 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{300 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{300 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{300 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{300 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{300 (4 x^{2} + 12 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.4

运用分配律。

$\frac{300 (4 x^{2}) + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.5

化简。

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解题步骤 5.2.1.5.1

将 $4$ 乘以 $300$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.5.2

将 $12$ 乘以 $300$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.5.3

将 $300$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.6.1

将 $300$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.6.2

将 $- 4$ 乘以 $300$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 1200) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7

使用 FOIL 方法展开 $(- 1200 x - 1200) (2 x + 3)$ 。

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解题步骤 5.2.1.7.1

运用分配律。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x + 3) - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7.2

运用分配律。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7.3

运用分配律。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.8.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x \cdot x - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.8.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 (x \cdot x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8.1.3

将 $- 1200$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1200$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1200$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8.1.6

将 $- 1200$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8.2

从 $- 3600 x$ 中减去 $2400 x$ 。

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

从 $1200 x^{2}$ 中减去 $2400 x^{2}$ 。

$\frac{- 1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.3

从 $3600 x$ 中减去 $6000 x$ 。

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x + 2700 - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.2.4

从 $2700$ 中减去 $3600$ 。

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

从 $- 1200 x^{2} - 2400 x - 900$ 中分解出因数 $300$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $- 1200 x^{2}$ 中分解出因数 $300$ 。

$\frac{300 (- 4 x^{2}) - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.2

从 $- 2400 x$ 中分解出因数 $300$ 。

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.3

从 $- 900$ 中分解出因数 $300$ 。

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.4

从 $300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x)$ 中分解出因数 $300$ 。

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.5

从 $300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)$ 中分解出因数 $300$ 。

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ 并且它们的和为 $b = - 8$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 (x) - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2.1.2

把 $- 8$ 重写为 $- 2$ 加 $- 6$

$\frac{300 (- 4 x^{2} + (- 2 - 6) x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2.1.3

运用分配律。

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 2 x - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{300 ((- 4 x^{2} - 2 x) - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{300 (2 x (- 2 x - 1) + 3 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- 2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{300 ((- 2 x - 1) (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

$\frac{300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.4

约去 $2 x + 3$ 和 ${(2 x + 3)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)$ 中分解出因数 $2 x + 3$ 。

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

从 ${(2 x + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $2 x + 3$ 。

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{300 (- 2 x - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.5

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{300 (- (2 x) - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{300 (- (2 x) - 1 (1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.7

从 $- (2 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{300 (- (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.8

将 $- (2 x + 1)$ 重写为 $- 1 (2 x + 1)$ 。

$\frac{300 (- 1 (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{300 (2 x + 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

微积分学 示例

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